texを使ってみようとしたら3

すでに証明した式変形をTeXで写経し、できる大学生のフリをして心を落ち着けようとしたのですが....。これで行けた!と思ってたのが間違っていたようで。

こういう、細々した式変形はイチイチ追わない方がいいんですかねぇ。

砂川電磁気　p.45(4.17)　より。本文では一行で済まされている式です。一部文字などは置き換えてあります。

こういうのを書くのははじめてなので温かい目で見て下さい…

[ c=f(x,y,z)という方程式で、三次元空間上に曲面が描ける(cは定数)。] [この曲面をx-y平面に正投射した領域をDとする。][D上の任意の点をとることで曲面上の点を指定することができるような曲面を考える。]

[すなわち、z=z(x,y)というように、曲面上の点のz座標が(x,y)in Dで指定できる曲面である。]

[ rac{partial g(x,y)}{partial y}=rac{f(x,y+dy,z(x,y+dy))-f(x,y,z(x,y))}{dy} ] [ = rac{f(x,y+dy,z(x,y+dy))-f(x,y+dy,z(x,y))+f(x,y+dy,z(x,y))-f(x,y,z(x,y))}{dy} ] [ = rac{f(x,y+dy,z(x,y+dy))-f(x,y+dy,z(x,y))}{dy}+ rac{partial f(x,y,z)}{partial y} ] 以下、[rac{f(x,y+dy,z(x,y+dy))-f(x,y+dy,z(x,y))}{dy}] のみを考える。 これを、[rac{partial f(x,y,z)}{partial z} rac{partial z(x,y)}{partial y}]まで変形する。 [ rac{f(x,y+dy,z(x,y+dy))-f(x,y+dy,z(x,y))}{dy}] [ =rac{f(x,y+dy,z(x,y+dy))-f(x,y+dy,z(x,y))}{dy} ] ここで仮に、としてよいなら、 [ =rac{f(x,y+dy,z(x,y)+dz)-f(x,y+dy,z(x,y))}{dz}rac{dz}{dy}]

[ =rac{partial f(x,y+dy,z(x,y))}{partial z}rac{z(x,y+dy)-z(x,y)}{dy}] [=rac{partial f(x,y,z(x,y))}{partial z} rac{partial z(x,y)}{partial y}]

問題の1つは、をどのようにおくか。だとは思うのですが...。これだとどうも先が見えない。

確かに微小変化してますし、としても構わないのかなぁ。

あともう一つは、[rac{partial f(x,y+dy,z(x,y))}{partial z}rac{z(x,y+dy)-z(x,y)}{dy}=rac{partial f(x,y,z(x,y))}{partial z} rac{partial z(x,y)}{partial y}]これが成立するのかどうか…

さて、ひとまずこれで、[ rac{partial g(x,y)}{partial y}=rac{partial f(x,y,z)}{partial y}+rac{partial f(x,y,z)}{partial z} rac{partial z(x,y)}{partial y}]が示せましたが...